Question

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD的中点，若∠AMD=∠BMD，求证：∠CDA=2∠ACD

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD的中点，若∠AMD=∠BMD，求证：∠CDA=2∠ACD．

Answer 1

解答：证明：过点A作AG∥DC交BM延长线于H，交BC延长线于G，连HC，
∴∠BMD=∠AHB，∠AMD=∠HAM，∠HAC=∠ACD，

CM

HG

=

BM

BH

=

DM

AH

，∵CM=DM，
∴HG=AH，即H是AG中点，
∵AC⊥BC
∴CH=AG/2=HG=AH（直角三角形ACG斜边上的中线CH等于斜边AG的一半）
∴∠HCA=∠HAC=∠ACD
∴∠HCM=∠HCA+∠ACD=∠ACD+∠ACD=2∠ACD
∵∠HAM=∠AMD，∠AMD=∠BMD，∠BMD=∠AHB，∠BMD=∠HMC
∴∠HAM=∠AHB，∠AMD=∠HMC
∴HM=AM（等角对等边）
∵MD=MC，∠AMD=∠HMC，AM=HM
∴△AMD≌△HMC
∴∠ADM=∠HCM=2∠ACD
即∠ADM=2∠ACD．