Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线 经过B、C两点，并与x轴交于另

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线 经过B、C两点，并与x轴交于另一点A。 （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N。①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰△BPC的面积。

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Answer 1

解：（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点， 令y=0得x=3； 令x=0，得y=3， ∴B（3，0），C（0，3）， ∵点B、C在抛物线 上，于是得 ， 解得b=2，c=3， ∴所求函数关系式为 ； （2）①∵点P（x，y）在抛物线 上， 且PN⊥x轴， ∴设点P的坐标为 ， 同理可设点N的坐标为（x，-x+3）， 又点P在第一象限， ∴PN=PM-NM =（ ）-（-x+3） = = ∴当x= 时， 线段PN的长度的最大值为 ； ②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上， 又由①知，OB=OC， ∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线， ∴设点P的坐标为（a，a）， 又点P在抛物线 上，于是有 ， ∴ ， 解得： ， ∴点P的坐标为： 或 ， 若点P的坐标为 ， 此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中， ，OB=OC=3， = = = = ， 若点P的坐标为 ，此时点P在第三象限， 则 = = = = 。