Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC．

Answer 1

解答：证明：如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2．
则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），O（1，1，0），B₁（2，2，2）．
∴

OB1

＝(1，1，2)，

AC

＝(?2，2，0)，

AP

＝(?2，0，1)．
∵

OB1

?

AC

＝?2+2+0＝0，

OB1

?

AP

＝?2+0+2=0，
∴

OB1

⊥

AC

，

OB1

⊥

AP

，
∴OB₁⊥AC，OB₁⊥AP，
又AP∩AC=A，∴OB₁⊥平面PAC．