Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， DB DP = DC

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， DB DP = DC DO = 2 3 ．（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．

Answer 1

（1）证明：连接OB、OP，如图， ∵ DB DP = DC DO = 2 3 ，且∠D=∠D， ∴△BDC ∽ △PDO， ∴∠DBC=∠DPO， ∴BC ∥ OP， ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP 而OB=OC ∴∠OCB=∠CBO ∴∠BOP=∠POA 又∵OB=OA，OP=OP ∴△BOP≌△AOP ∴∠PBO=∠PAO 又∵PA⊥AC ∴∠PBO=90° ∴直线PB是⊙O的切线； （2）由（1）知∠BCO=∠POA， 设PB=a，则BD=2a 又∵PA=PB=a ∴AD= DP 2 - PA 2 =2 2 a， 又∵BC ∥ OP ∴DC=2CO， ∴DC=CA= 1 2 ×2 2 a= 2 a， ∴OA= 2 2 a， ∴OP= OA 2 + PA 2 = ( 2 a 2 ) 2 + a 2 = 6 2 a， ∴cos∠BCA=cos∠POA= OA OP = 3 3 ．