已知递增数列{an}满足：a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+），且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列{an}的通项公
已知递增数列{an}满足：a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+），且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列{an}的通项公式an．（2）若数列{bn}满足：bn...
已知递增数列{an}满足：a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+），且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列{an}的通项公式an．（2）若数列{bn}满足：bn+1=bn2-（n-2）bn+3，且b1≥1，n∈N+①用数学归纳法证明：bn≥an②记Tn＝13+b1+13+b2+13+b3+…+13+bn，证明：Tn＜12．
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（1）∵a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+）
∴数列{an}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
∵a1，a2，a4成等比数
∴（1+d）2=1+3d
∴d=0（舍）或d=1
∴an=1+n-1=n
证明：（2）①∵bn+1=bn2-（n-2）bn+3，且b1≥1，
（i）当n=1时，b1≥1=a1成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即bk≥ak=k
∴bk+1≥k+1=ak+1
当n=k+1时，bk+1=bk2-（k-2）bk+3，
∴bk+1-ak+1=bk+1-（bk+1）=bk2?(k?1)bk+2＞k2-k（k-1）+2＞0
∴bk+1≥ak+1
综上可证得，对于任意的正整数n，bn≥an都成立
②∵bn+1=bn2-（n-2）bn+3，∴
＝
，
bn2-（n-2）bn+6=bn（bn+2-n）+6≥2bn+6=2（bn+3），（∵bn≥n）
∴
≤
?
，
∴Tn＝
+
+
+…+
≤
+
?
+
?
+…+
?
…①
∴?
Tn＝?
?
?
?
?
?
∴数列{an}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
∵a1，a2，a4成等比数
∴（1+d）2=1+3d
∴d=0（舍）或d=1
∴an=1+n-1=n
证明：（2）①∵bn+1=bn2-（n-2）bn+3，且b1≥1，
（i）当n=1时，b1≥1=a1成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即bk≥ak=k
∴bk+1≥k+1=ak+1
当n=k+1时，bk+1=bk2-（k-2）bk+3，
∴bk+1-ak+1=bk+1-（bk+1）=bk2?(k?1)bk+2＞k2-k（k-1）+2＞0
∴bk+1≥ak+1
综上可证得，对于任意的正整数n，bn≥an都成立
②∵bn+1=bn2-（n-2）bn+3，∴
| 1 |
| 3+bn+3 |
| 1 |
| bn2?(n?2)bn+6 |
bn2-（n-2）bn+6=bn（bn+2-n）+6≥2bn+6=2（bn+3），（∵bn≥n）
∴
| 1 |
| bn+1+3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| bn+3 |
∴Tn＝
| 1 |
| 3+b1 |
| 1 |
| 3+b2 |
| 1 |
| 3+b3 |
| 1 |
| 3+bn |
| 1 |
| 3+b1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3+b1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3+b2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3+bn?1 |
∴?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3+b1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3+b2 |
| 1 |
| 2 |
