Question

已知函数F（X）的图像与函数H（X）=X+1/X+2的图像关于点A（0，1）对称。

已知函数F（X）的图像与函数H（X）=X+1/X+2的图像关于点A（0，1）对称。 （1） 求函数F（X）的解析式 （2） 若G（X）= F（X）+a/X，且G（X）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围。 要过程！

Answer 1

解：（1）设函数F（X）上点的坐标为（Xo,Yo）,（X`o,Y`o)是H（X）上的点,由于函数F（X）的图像与函数H（X）=X+1/X+2的图像关于点A（0，1）对称 所以，Xo+X`o/2=0，Yo+Y`o/2=1.即X`o=-Xo，Y`o=2-Yo,代人H（X）中得 F（x）=X+1/X （2）G（X）= X+（1+a）/X，对G（X）求导，G`（X）=1-（1+a）/x^2 （a） a<-1 ,G`（X）>0,函数G（X）单调递增，在区间（0，2]上， G（2）>=6,解得 a>=7 ，无解 (b) a>=-1 ,令G`（X）=0，得x=√(1+a)或x=-√(1+a) 若x=√(1+a)∈（0，2]，即 3>=a>=-1 ,此时，G（x）在区间（0，2]先减后增， G（X）min= G（√(1+a)）=2 √(1+a)>=6,解得： a>=8 ，此时，a取值无意义 若x=√(1+a)>2,即 a>3 ,G（x）在区间（0，2]上单调递减，G(2)>6，同样解得 a>=7 综上，a取值范围：[7，+∞）

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