求下列矩阵的特征值和特征向量{0 0 0 1} {0 0 1 0} {0 1 0 0}{0 0 0 1}
解：A=
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
先求出特征值，得到1，-1（都是两重）
将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 -1 1 0
-1 0 0 1
第4行, 加上第1行×1
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 -1 1 0
0 0 0 0
第3行, 加上第2行×1
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 0 -1 0 0
0 1 -1 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第2行, 加上第3行×1
1 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第1行, 加上第4行×1
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
得到属于特征值1的特征向量(0,1,1,0)T(1,0,0,1)T将特征值-1代入特征方程(λI-A)x=0
-1 0 0 -1
0 -1 -1 0
0 -1 -1 0
-1 0 0 -1
第4行, 加上第1行×-1
-1 0 0 -1
0 -1 -1 0
0 -1 -1 0
0 0 0 0
第1行, 提取公因子-1
1 0 0 1
0 -1 -1 0
0 -1 -1 0
0 0 0 0
第3行, 加上第2行×-1
1 0 0 1
0 -1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
第2行, 提取公因子-1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第2行, 加上第3行×-1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 -1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第1行, 加上第4行×-1
1 0 0 0 0 -1
0 1 0 0 -1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
得到属于特征值-1的特征向量(0,-1,1,0)T(-1,0,0,1)T得到特征向量矩阵
0 1 0 -1
1 0 -1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
扩展资料
矩阵的奇异值分解
假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。
其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解[19] 。
Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。
参考资料来源：百度百科-矩阵
A=
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
先求出特征值，得到1，-1（都是两重）
将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 -1 1 0
-1 0 0 1
第4行, 加上第1行×1
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 -1 1 0
0 0 0 0
第3行, 加上第2行×1
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 0 -1 0 0
0 1 -1 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第2行, 加上第3行×1
1 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第1行, 加上第4行×1
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
得到属于特征值1的特征向量
(0,1,1,0)T
(1,0,0,1)T
将特征值-1代入特征方程(λI-A)x=0
-1 0 0 -1
0 -1 -1 0
0 -1 -1 0
-1 0 0 -1
第4行, 加上第1行×-1
-1 0 0 -1
0 -1 -1 0
0 -1 -1 0
0 0 0 0
第1行, 提取公因子-1
1 0 0 1
0 -1 -1 0
0 -1 -1 0
0 0 0 0
第3行, 加上第2行×-1
1 0 0 1
0 -1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
第2行, 提取公因子-1
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第2行, 加上第3行×-1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 -1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
第1行, 加上第4行×-1
1 0 0 0 0 -1
0 1 0 0 -1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
得到属于特征值-1的特征向量
(0,-1,1,0)T
(-1,0,0,1)T
得到特征向量矩阵
0 1 0 -1
1 0 -1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
|A-λE|=
-λ 0 0 1
0 -λ 1 0
0 1 -λ 0
1 0 0 -λ r1+r4 *λ ，r2+r3 *λ
=
0 0 0 1-λ^2
0 0 1-λ^2 0
0 1 -λ 0
1 0 0 -λ
解得1-λ^2=0即λ=1或 -1
即矩阵有2重特征值特征值1和-1
λ=1时，A-E=
-1 0 0 1
0 -1 1 0
0 1 -1 0
1 0 0 -1 r1+r4,r2+r3,交换行次序
~
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
得到特征向量(0,1,1,0)^T和(1,0,0,1)^T
λ=-1时，
A+E=
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1 r4-r1,r3-r2
~
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
得到特征向量(0,1,-1,0)^T和(1,0,0,-1)^T
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