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解：分享一种解法，利用广义二次展开式求解。
设x=1/t，则t→0，∴lim(x→∞)(x^α)[√(x^2+1)+√(x^2-1)-2x]=lim(t→0)[√(t^2+1)+√(1-t^2)-2]/t^(α+1)。
而，√(t^2+1)~1+(1/2)t^2-(1/8)t^4、√/1-t^2)~1-(1/2)t^2-(1/8)t^4），
∴lim(t→0)[√(t^2+1)+√(1-t^2)-2]/t^(α+1)]=(-1/4)lim(t→0)(t^4)/t^(α+1)。
∴α=3，β=-1/4。供参考。
设x=1/t，则t→0，∴lim(x→∞)(x^α)[√(x^2+1)+√(x^2-1)-2x]=lim(t→0)[√(t^2+1)+√(1-t^2)-2]/t^(α+1)。
而，√(t^2+1)~1+(1/2)t^2-(1/8)t^4、√/1-t^2)~1-(1/2)t^2-(1/8)t^4），
∴lim(t→0)[√(t^2+1)+√(1-t^2)-2]/t^(α+1)]=(-1/4)lim(t→0)(t^4)/t^(α+1)。
∴α=3，β=-1/4。供参考。
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