Question

在数学分析中“逐点收敛”和“一致收敛”的区别是什么？

Answer 1

fn一致收敛到f：对于任意的e>0,存在一个N>0，使对于任意的x在定义域和n>N, |f(x)-fn(x)|<e

fn逐点收敛到f：对于任意的e>0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x>0，使任意的和n>N_x, |f(x)-fn(x)|<e

这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：

逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。

一致收敛指所有fn(x)大约“同步”地收敛到整个f(x)。

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学习高等数学最重要是持之以恒，其实无论哪种科目都是的，除了多书里的例题外，平时还要多亲自动手做练习，每种类型和每种难度的题目都挑战一番，不会做的也不用气馁，多些向别人请教，从别人那里学到的知识就是自己的了，然后再加以自己钻研的话一定会有不错的效果。所以累积经验是很重要的，最好的方法就是常来帮别人解答题目，增加历练和做题经验了！

Answer 2

fn一致收敛到f：对于任意的e>0,存在一个N>0，使对于任意的x在定义域和n>N,
|f(x)-fn(x)|<e
fn逐点收敛到f：对于任意的e>0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x>0，使任意的和n>N_x,
|f(x)-fn(x)|<e
这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：
逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。
一致收敛指所有fn(x)大约“同步”地收敛到整个f(x)。
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