Question

函数列处处收敛和一致收敛的区别

Answer 1

如下：

{f_n(x)}一致收敛到f(x)：对任意ε，存在N>0，使得对所有n>N，|f_n(x)-f(x)|<ε对所有的x都成立。

{f_n(x)}点点收敛到f(x)：对任意一点x，对任意ε，存在N>0，使得对所有n>N，有|f_n(x)-f(x)|<ε。

那么我刚才说的收敛速度是什么意思呢？就是说对于给定的一个ε，要到第几项，才能保证f_n(x)已经足够接近f(x)了。

一致收敛说：给了一个ε，就能保证不管你在哪一个x处，只要到了第N项，f_n(x)就足够靠近f(x)
点点收敛就做不到了，它只能说，给了一个ε，对于每一点x，能找到一个N，使得从第N项开始，f_n(x)足够靠近f(x)，但是要注意这个N是取决于x的。

也就是说，对于不同的x，N的值可能是不同的。所以说点点收敛不能保证{f_n(x)}在每一点的收敛速度是一致的。

函数列(sequence of functions)指各项为具有相同定义域的函数的序列。若{fn}为函数列，其中每个函数fn的定义域为A，则A也称为{fn}的定义域，若对某个x0∈A，数列{fn(x0)}收敛，则x0称为{fn}的收敛点，或称{fn}在点x0收敛，{fn}的所有收敛点的集合称为它的收敛域。

若对每个x∈D，有当n→∞时，fn(x)→f(x)，则函数f(x)称为函数列{fn}(或{fn(x)})在D上的极限函数，这时也说，函数列{fn}在D上处处收敛于f，或在D上逐点收敛于f。对一般的函数列来说，除研究它的逐点收敛(或称点态收敛)这种收敛方式外，还要研究一致收敛，这是为了研究极限函数是否继承相应函数列的各项(函数)所具有的分析性质(连续、可微、可积等)而引入的一种收敛方式 。

Answer 2

字面意思看，一致收敛说明这列函数在每一点处的收敛速度是一样的。
下面从定义严格说明一下：
{f_n(x)}一致收敛到f(x)：对任意ε，存在N>0，使得对所有n>N，|f_n(x)-f(x)|<ε对所有的x都成立。
{f_n(x)}点点收敛到f(x)：对任意一点x，对任意ε，存在N>0，使得对所有n>N，有|f_n(x)-f(x)|<ε。
那么我刚才说的收敛速度是什么意思呢？就是说对于给定的一个ε，要到第几项，才能保证f_n(x)已经足够接近f(x)了。（“足够接近”的意思是|f_n(x)-f(x)|<ε|）
一致收敛说：给了一个ε，就能保证不管你在哪一个x处，只要到了第N项，f_n(x)就足够靠近f(x)
点点收敛就做不到了，它只能说，给了一个ε，对于每一点x，能找到一个N，使得从第N项开始，f_n(x)足够靠近f(x)，但是要注意这个N是取决于x的。也就是说，对于不同的x，N的值可能是不同的。所以说点点收敛不能保证{f_n(x)}在每一点的收敛速度是一致的。