Question

如图,已知抛物线y=-1/2x²+x+4交x轴的正半轴于点A,交Y轴于点B

Answer 1

已知抛物线y=-1/2x²+x+4
交x轴的正半轴与点a，交y轴于点b
a=-1/2＜0，则抛物线开口朝下
δ=b²-4ac=1+4×4/2=9＞0
抛物线图象与x轴交于两点：
（[-b-√δ]/2a，0）和（[-b+√δ]/2a，0）；
即a点（2，0）和c点（-4，0）
因交y轴于点b
所以y=-1/2x²+x+4=4，即b点（0,4）
设直线为y=kx+b，将a(2,0),b(0,4)代入直线方程得
则有0=2k+b和b=4解得k=-2
直线ab的解析式y=-2x+4
（2）
因正方形peqf于直线ab有公共点,q点的坐标为（x/2,y/2)
必然q点的最大坐标在y=-2x+4和直线y=x的交点上
则有y=-2x+4=x，y=x=4/3
q点的最大坐标为（4/3，4/3）
p点的最大坐标（8/3,8/3）
p点的最小坐标（4/3,4/3）
q点的最小坐标为（2/3，2/3）
所以x的取值范围为2/3＜x＜8/3
3、
过q点作相交于直线y=-2x+4的直角△交直线y=-2x+4于d点和c点
q点坐标（x/2,y/2）,即（x/2,x/2）
则d点(x/2,-x+4)和c点(-x+4,x/2)
面积s=qd×cg/2
=
|(-x+4-x/2)||(-x+4-x/2)|/2
=(-3x/2+4)²/2
令x=2/3,则正方形peqf与△oab公共部分的面积为s达到最大
s=(-3x/2+4)²/2=9/2=4.5

Answer 2

解：令y=0，得x=4，-2，点A在x正半轴，所以A（4,0）
令x=0，得y=4，所以B（0,4）
直线xy：y=-x+4
点P（x，x），点Q（x/2,x/2）
(1)
考虑两种极端，点P恰好在直线AB上，和点Q恰好在直线AB上
点P在AB上：
解y=x,y=-x+4得x=2，点P1(2,2)
点Q在AB上：
解y=x,y=-x+4得x=2，点Q(2,2)，所以点P2(4,4)
若要有公共点，P必在P1P2之间，所以2<=x<=4
(2)
记PEQF与直线AB焦点为M，N
因为PEQF四边分别与坐标轴平行，点M，N都在直线AB上
所以MN各与点Q共用一个坐标点，M(4-x/2,x/2)
,
N(x/2,4-x/2)
公共面积就是三角形QMN的面积，
S=1/2*QM*QN=1/2
*
(4-x/2-x/2)
*
(4-x/2-x/2)=1/2
*
(x-4)^2
抛物线开口向上，最低点时x=4，所以在[2,4]上S随x的增大而减小。
即x=2时S最大，S=2