Question

设an是首项为1的正项等比数列，且（n+1)an+1^2-nan^2+an+1an=0,求其通项公式

Answer 1

解：∵(n+1)a[n+1]^2-na[n]^2+a[n+1]a[n]=0
∴{(n+1)a[n+1]-na[n]}{a[n+1]+a[n]}=0
∴(n+1)a[n+1]-na[n]=0 或者 a[n+1]+a[n]=0
∵{a[n]}是首项为1的正项数列
∴a[n+1]+a[n]=0，即公比是-1，舍去

∴a[n+1]/a[n]=n/(n+1)
a[n]/a[n-1]=(n-1)/n
......
a[3]/a[2]=2/3
a[2]/a[1]=1/2
将上面各式累乘，得：(第一式不参与)
a[n]=1/n

【说明：楼主给出的题目说{a[n]}是等比数列，结果却不是的，请楼主对照原题校对一下，是不是顺手多写了“等比”两个字？】

Answer 2

解：A(n+1)表示第n+1项
(n+1)A(n+1)^2-nAn^2+A(n+1)An=0
n(A(n+1)+An)(A(n+1)-An)+A(n+1)(A(n+1)+An)=0
(A(n+1)+An)[nA(n+1)-nAn+A(n+1)]=0
(A(n+1)+An)[(n+1)A(n+1)-nAn]=0
因为{An}是首项为1的正项数列，因此A(n+1)+An大于0,
因此只有
(n+1)A(n+1)-nAn=0
即A(n+1)=An*n/(n+1)

A2=A1*1/2
A3=A2*2/3
A4=A3*3/4
........
An=A(n-1)*(n-1)/n

左边相乘等于右边相乘，于是得
A2A3A4....An=A1A2A3....A(n-1)1/2*2/3*3/4*.....*(n-1)/n
=A1A2A3....A(n-1)1/n
所以An=A1*1/n 又A1=1
所以An=1/n

Answer 3

“首项”是a0 还是a1? 如果首项为a0的话答案和下面是不一样的

设a（n+1)/an = q 即通项公式为an = q^(n-1)

则（n+1)（a（n+1））^2-n（an）^2+a（n+1）an=0 可变形为
((n+1)q^2-+2q-n)q^2n = 0 (其中an=q^n)
根据已知条件，这个等式对于任意自然数n都成立
带入 n=1 a1=1; n=2 a2=q进去解一下就可以了。