Question

无限个开集的交是闭集

高手帮忙!数学分析中开集与闭集的问题~~
数学分析中有结论如下：任意有限个开集的交集是开集,而任意个开集的交集不一定是开集.
问题1,如果一列开集的交集为空集,空集既是开集也是闭集,所以任意开集的交集不一定是开集.这样理解对吗?
问题2,问题1的结论有其他反例可以说明吗?
问题3,如果有限个开集的交集是空集的话,怎样理解任意有限个开集的交集是开集?我也可以说空集是闭集啊?

Answer 1

任意个开集的交集不一定是开集。

列如：（－1,1）……（－1／n,1／n）的交集。

n趋于∞，则交集[0]为闭集。

开集和闭集严格的区分是开集中每个点都是聚点，闭集不一定。

定义

假设X是一个集合， 如果存在一系列X的子集合满足下面的条件，那么每个这样的子集就称为X的一个开集，X称为拓扑空间。

（1）空集和X为开集。

（2）有限多个开集之交为开集（无穷多个开集的交集未必是开集）。

（3）任意多个开集之并为开集。

Answer 2

任意个开集的交集不一定是开集,列如
（－1,1）……（－1／n,1／n）的交集
n趋于∞,则交集[0]为闭集
开集和闭集严格的区分是开集中每个点都是聚点,闭集不一定

Answer 3

题主也发现，存在一些集合既是开集也是闭集（如空集 复数域等）所以不能用一个集合是闭集来反驳它是空集，所以问题1和3的理解方式并不正确，需要找到如另一个答主提到的只有一个整数元素的是闭集不是开集的例子才行