Question

已知a，b是整数，a 2 +b 2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

Answer 1

证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：
（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是
a 2 +b 2 =9m 2 +9n 2 ±6n+1
=3（3m 2 +3n 2 ±2n）+1，
不是3的倍数，矛盾；
（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则
a 2 +b 2 =（3m±1） 2 +（3n±1） 2 ，
=9m 2 ±6m+1+9n 2 ±6n+1
=3（3m 2 +3n2±2m±2n）+2，
不能被3整除，矛盾；
同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或a=3m±2，b=3n±2，代入a 2 +b 2 会得到相同的结论．
由此可知，a，b都是3的倍数．