Question

已知动圆过点M（-3，0），且与圆N：（x-3）2+y2=16相内切．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据两圆内切的性质，算出动圆圆心到M，N的距离之和等于常数4，由此可得轨迹为以M，N焦点的椭圆，利用椭圆的基本概念加以计算即可得到所求轨迹方程．
（Ⅱ）设直线l：y=k 1（x-1），联立 y＝ k 1 (x−1) x 2 4 + y 2 ＝1 ，得（4k 1 2+1）x 2-8k 1 2x+4k 1 2-4=0，设C（x 1，y 1），D（x 2，y 2），则 x 1 + x 2 ＝ 8 k 1 2 4 k 1 2 +1 ， x 1 x 2 ＝ 4 k 1 2 −4 4 k 1 2 +1 ，直线AC的方程为：y= y 1 x 1 −2 (x−2) ，直线AD的方程为：y= y 2 x 2 −2 (x−2) ，令x=3，得k 2=[1/4]• y 1 x 2 + y 2 x 1 −2( y 1 + y 2 ) x 1 x 2 −2( x 1 + x 2 )+4 ，由此能证明k 1•k 2为定值-[1/4]．
（Ⅰ）圆N：（x-
3）2+y2=16，圆心为N（
3，0），半径为r=4，
设动圆与定圆切于点A
∵动圆过点M（-
3，0），且与圆N：（x-
3）2+y2=16相内切，
∴|PN|+|AP|=4，
∵|PA|=|PM|，
∴|PN|+|PM|=4（定值）＞|MN|=2
3
∴动点P的轨迹为以M、N为焦点的椭圆
由2a=4，c=
3，得b=1
∴动圆的圆心P的轨迹方程为
x2
4+y2＝1．
（Ⅱ）∵点A（2，0），点B（1，0），
过点B且斜率为k1（k1≠0）的直线l与
x2
4+y2＝1相交于C、D两点，
∴设直线l：y=k1（x-1），
联立
,5,已知动圆过点M（- 3 ，0），且与圆N：（x- 3 ） 2+y 2=16相内切．
（Ⅰ）求动圆的圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（2，0），点B（1，0），过点B且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹相交于C、D两点，直线AC、AD分别交直线x=3于E、F两点，线段EF的中点为Q．记直线QB的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值．