Question

已知，在三角形ABC中，AB=AC,点D.E分别在边AC.AB上，且角ABD=角ACE,BD与CE

已知，在三角形ABC中，AB=AC,点D.E分别在边AC.AB上，且角ABD=角ACE,BD与CE相交于点O求证，OB=OC,BE=CD

Answer 1

证明：因为      AB=AC（已知），  

          所以      角ABC=角ACB（同一三角形中，等边对等角），

          因为      角ABD=角ACE（已知）， 

          所以      角ABC-角ABD=角ACB-角ACE（等式性质），  

          所以      角OBC=角OCB（两角差的定义），  

          所以       OB=OC（同一三角形中，等角对等边）。

          因为       AB=AC，角ABD=角ACE（已知） 

              又        角A=角A（公用角）

          所以       三角形ABD全等于三角形ACE（A，S，A），

          所以       BE=CD（全等三角形对应边相等）。

相关知识点：

1.    同一三角形中的边角关系       等边对等角；等角对等边。

2.   两个三角形全等1）判定       定理一：边，角，边；                

                                                     定理二：角，边，角，

                                                      定理三：角，角，边；             

                                                      定理四：边，边，边；

                                                      定理五：直角三角形中，斜边，直角边。

                                   2）性质：  全等三角形中对应边相等，对应角相等，

                                                      对应线段也相等。

   3.    证明线段或角相等的常用方法

          最常用的方法是利用全等三角形或等腰三角形。

                         

Answer 2

证明：角ABD=角ACE，角BOE与角COD是对顶角，所以角BOE=角COD，
三角相等，所以△BOE与△COD是相似三角形。
AB=AC，角ABD=角ACE，所以∠OBC=∠OCB，三角形OBC是等腰三角形，所以OB=OC。
定理：有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
所以△BOE与△COD是相等三角形。
所以OE=OD,BE=CD。

Answer 3

证明：∵∠ABD=∠ACE
∠A=∠A

AB=AC
∴△ABD≌ACE
∴BD=CE
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∴∠DBC=∠ECB
所以三角形BCO为等腰三角形
∴BO=CO
同上理得△BOE≌△COD
∴BE=CD

Answer 4

证明：∵∠ABD=∠ACE
∠A=∠A

AB=AC
∴△ABD≌ACE
∴BD=CE
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∴∠DBC=∠ECB
所以三角形BCO为等腰三角形
∴BO=CO
同上理得△BOE≌△COD
∴BE=CD

Answer 5