Question

已知数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,...,an-an-1是首项为1,公比为1/3的等比数列

1）求通项 2）若bn=（2n-1）an，求数列bn的前n项和Sn 注意要详细过程，一定要详细。不要直接的答案，方法我知道是错位相减。

Answer 1

a1=1
a2-a1=1/3
a3-a2=(1/3)^2
a4-a3=(1/3)^3
...........................
a(n)-a(n-1)=(1/3)^(n-1)
上面全部加起来得a(n)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+..........+(1/3)^(n-1)
=[1-(1/3)^n]/[1-(1/3)]=(3/2)[1-(1/3)^n]

b(n)=(2n-1)(3/2)[1-(1/3)^n]
Sn=(3/2)∑(2k-1)[1-(1/3)^k]=(3/2)∑(2k-1)-(3/2)∑(2k-1)(1/3)^k
∑(2k-1)=[1+(2n-1)]n/2=n^2 等差数列求和公式
Tn=∑(2k-1)(1/3)^k=1/3+3/3^2+5/3^3+......+(2n-3)/3^(n-1)+(2n-1)/3^n
3Tn=1+3/3+5/3^2+......+(2n-3)/3^(n-2)+(2n-1)/3^(n-1)
上两式相减 按分母相同3的几次方合并得
2Tn=1+2/3+2/3^2+.....................+2/3^(n-1)-(2n-1)/3^n
=1+（2/3）[1-(1/3)^n]/[1-(1/3)]-(2n-1)/3^n
=1+1-(1/3)^n-(2n-1)/3^n=2-(2n-2)/3^n
Tn=1-(n-1)/3^n
所以Sn=(3/2)n^2-(3/2)[1-(n-1)/3^n]=(3/2)[n^2-1+(n-1)/3^n]