Question

x^2+y^2=1,求x+y取值范围.用四种方法解。

高一问题，别答超了——要求两种方法是直线与圆位置关系，一种向量，一种三角函数。谢谢
如有满意答复，追加50分！
最主要的是要那种向量求法！谢了

Answer 1

（1）首先给出向量解法：
设A(x,y)是x^2+y^2=1上任一点，向量OA=(x,y)，且|OA|=1，又设B(1,1),向量OB=(1.1)，则|OB|=根号2
又由A的任意性，易知向量OA与向量OB=(1.1)的夹角可取[0,π]之间所有值

所以 x+y=向量OA*向量OB=|OA||OB|cosAOB=1*根号2*cosAOB,
又-1<=cosAOB<=1

则-根号2<=x+y<=根号2

（2）几何法：
设x+y=z，则y=-x+z。斜率是-1。画出x^2+y^2=1和y=-x+z的图像，令直线与圆相切，得z=正负根号2
则-根号2<=x+y<=根号2

说明：也可列式圆心到直线的距离<=半径，解出z的范围，算另一种解法吧

(3)换元：
设x=cost，y=sint，
则x+y=cost+sint=根号2倍的sin(x+π/4)，
则-根号2<=x+y<=根号2

(4)存在性求解：
设x+y=t,则t应使方程组x+y=t ①，x^2+y^2=1 ②有解，
由①得x=t-y，代入②，
得2y^2-2ty+t^2-1=0，则该关于y的二次方程有解，
Δ=4t^2-8*(t^2-1)>=0
解得-根号2<=x+y<=根号2

(5)不等式学了吗，不等式法
因为[(x+y)/2]^2-(x^2+y^2)/2=(-x^2+2xy-y^2)/4=-(x-y)^2/4<=0
所以[(x+y)/2]^2<=(x^2+y^2)/2=1/2
即(x+y)^2<=2
解得-根号2<=x+y<=根号2

Answer 2

1:三角函数,x=cost，y=sint，则x+y=cost+sint=[2^(1/2)]*sin(x+π/4)
那么绝对号下x+y<=2^(1/2)

2:几何,x^2+y^2=1是圆心(0,0),半径1的圆,x+y=a代表斜率-1的直线,
容易看出当直线和圆相切,a=(+ -)2^(1/2),当-2^(1/2)<=a<=2^(1/2),有交点.

3:不等式法:0<=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy,
而2xy<=x^2+y^2
所以0<=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy<=2(x^2+y^2)=2
所以绝对号下x+y<=2^(1/2)

4:代数法,x=(+ -)(1-y^2)^(1/2)
不妨首先讨论x,y都为非负的情况
x=(1-y^2)^(1/2)
x+y=y+(1-y^2)^(1/2)=f(y)
对f求导,f'(y)=1-y/(1-y^2)^(1/2)
y=2^(1/2)/2时候,f'=0.y>2^(1/2)/2,f'<0,f为减函数
0<=y<2^(1/2)/2,f'>0,f为增函数
所以y=2^(1/2),x+y=2^(1/2)最大
考虑到+,-对等性,所以有绝对号下x+y<=2^(1/2)

5.如果一定要用向量法，取复数Z=x+yi，
x^2+y^2=1=Z*Z'=Z的模,其中Z'为Z共扼向量。
最终求x+y最值还得把它转化为几何方法，我个人认为所谓向量法解此题不过绕了个弯，可能我水平有限。问问你们老师，如果有不一样的向量法通知下我，我也学习一下，谢谢

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

提供两种：1.设x+y=z，则y=-x+z。斜率是-1。在平面直角坐标系上，画出x^2+y^2=1和y=-x+z的图像，看何时直线与圆相切，即可找到答案。
2.x=cost，y=sint，则x+y=cost+sint=根号2倍的sin(x+π/4)，同样出答案。