Question

证明若f(x)二阶可导，且f''(x)>0，f(0)=0，则F(x)=f(x)/x在0<x<+∞上

证明若f(x)二阶可导，且f''(x)>0，f(0)=0，则F(x)=f(x)/x在0<x<+∞上单调增加。谢谢！

Answer 1

∵f(x)在[a,b]上连续且二阶可导,点M(c,f(c))在f(x)上，∴f(x)在[a,c]上连续，根据拉格朗日中值定理，在[a,c]存在一点p，使得f'(p)*(a-c)=f(a)-f(b);同理在[c,b]上存在一点q，使得f'(q)*(c-b)=f(c)-f(b);
又∵A、M、B在同一直线上，所以f'(p)=f'(q);
∵f'(x)在[p,q]，上连续，可导，根据拉格朗日中值定理，在[p,q]，之间存在一n，使得f''(n)*(p-q)=f'(p)-f'(q)＝0,
∵p－q≠0
∴f''(n)=0,(证毕）
％％本证明过程不是很规范，因为是在线回答，格式不能得到很好控制，但思路可以和大家分享
是否可以解决您的问题？

追问

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