Question

如图，正方形ABCD中，BE=CF．（1）求证：△BCE≌△CDF；（2）求证：CE⊥DF；（3）若CD=4，且DG2+GE2=18，

如图，正方形ABCD中，BE=CF．（1）求证：△BCE≌△CDF；（2）求证：CE⊥DF；（3）若CD=4，且DG2+GE2=18，则BE=______．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠B=90°，
在△DCF和△CBE中，

BE＝CF ∠DCF＝∠B BC＝DC

，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；
（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠CDF=∠ECB，
∵∠ECB+∠GCD=90°，
∴∠CDF+∠GCD=90°，即∠DGC=90°，
则CE⊥DF；
（3）如图，连接DE，
∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DE²=DG²+GE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=5，
∴AE=

DE2?CD2

=

18?16

=

2

，
∴BE=AB-AE=4-

2

．
故答案为：（3）4-

2