Question

如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四

如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。 ∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE， ∴△ABC≌DEF（SAS）。∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF。 ∴四边形BCEF是平行四边形． （2）解：连接BE，交CF与点G， ∵四边形BCEF是平行四边形， ∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形。 ∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC= 。 ∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC。 ∴ ，即 。∴ 。 ∵FG=CG，∴FC=2CG= ， ∴AF=AC﹣FC=5﹣ 。 ∴当AF= 时，四边形BCEF是菱形．

（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，根据SAS得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形。 （2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值。