Question

设x，y满足约束条件x≥23x?y≥1y≥x+1，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则ab的最大值为___

设x，y满足约束条件x≥23x?y≥1y≥x+1，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则ab的最大值为______．

Answer 1

解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y＝?

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直线的斜率?

a

b

＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y＝?

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y＝?

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y＝?

a

b

x+

z

b

的截距最小，此时z最小．
由

x＝2 y＝x+1

，解得

x＝2 y＝3

，即A（2，3），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，
即2a+3b=2，∴2=2a+3b≥2

6ab

，
即ab≤

1

6

，
当且仅当2a=3b=1，即a=

1

2

，b=

1

3

时取等号．
故ab的最大值为

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