Question

已知函数f（x）=log3（x+1）+log3（1-x），（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

已知函数f（x）=log3（x+1）+log3（1-x），（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）写出函数f（x）的单调区间．（不必写出解答过程！）

Answer 1

（1）∵函数f（x）=log₃（x+1）+log₃（1-x），
∴

x+1＞0 1?x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）函数f（x）为偶函数，
证明：由（1）可知，f（x）的定义域为（-1，1）关于原点对称，
∵f（-x）=log₃（1-x）+log₃（1+x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=log₃（x+1）+log₃（1-x）=log₃（1-x²），
∴函数f（x）是由内层函数t=1-x²，外层函数y=log₃t复合而成的一个复合函数，
∵t=1-x²在（-1，0]上单调递增，在（0，1]上单调递减，
又∵函数y=log₃t在（0，+∞）上是单调递增函数，
根据复合函数的单调性，
∴函数f（x）的单调增区间（-1，0]，单调减区间[0，1）．