Question

已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0，则a-b的值为______

已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0，则a-b的值为______．

Answer 1

∵函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²
∴f'（x）=3x²+6ax+b，
又∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=-1处有极值0，
∴

3?6a+b＝0 ?1+3a?b+a2＝0

，∴

a＝1 b＝3

或

a＝2 b＝9

当

a＝1 b＝3

时，f'（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）²=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；
当

a＝2 b＝9

时，f'（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；
∴a-b=-7
故答案为：-7．

Answer 2

解：
f(x)=x³+3ax²+bx+a²
f'(x)=3x²+6ax+b
函数在x=-1时有极值0，即f(-1)=0，f'(-1)=0
x=-1，f'(x)=0代入f'(x)=3x²+6ax+b，整理，得
b=6a-3
x=-1，f(x)=0代入f(x)=x³+3ax²+bx+a²，整理，得
a²+3a-b-1=0
b=6a-3代入，整理，得
a²-3a+2=0
(a-1)(a-2)=0
a=1或a=2
a=1时，b=6a-3=6×1-3=3，a-b=1-3=-2
a=2时，b=6a-3=6×2-3=9，a-b=2-9=-7
综上，得a-b的值为-2或-7

总结：
题目不难，主要是对已知条件：函数在x=-1时有极值0的理解，如果不熟练，就连等式都列不出来，更不要说求解了，关键还是基础知识是否熟练掌握。