Question

已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)在x＝-1时有极值0。方程f(x)=c在区间[-4,0]上有三个不同的实根时，求

已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)在x＝-1时有极值0。方程f(x)=c在区间R上有三个不同的实根时，求实数c的范围。

Answer 1

1、思路：利用极值和导数的关系。极值点是不可导点或驻点（导数为0的点）
由f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a＞1）可得：
f‘(x)=3x^2+6ax+b
同时，函数在x=-1时有极值0，所以有
f(-1)=-1+3a-b+a^2=0
f'(-1)=3-6a+b=0
且a＞1
解得： a=2 ，b=9
2、思路：利用导数和单调性的关系
由（1）可知f(x)=x^3+6x^2+9x+4
f‘(x)=3x^2+12x+9
令f'(x)=0，解得x=-3,或x=-1
所以，当x∈(-∞,-3]∪[-1,+∞)时，f‘(x)>0、函数单调增加。
当x∈（-3，-1）时，f‘(x)<0、函数单调减少
综上可知，函数的单调增区间为(-∞,-3]∪[-1,+∞)；单调减区间为（-3，-1）
3、；利用最值和极值以及端点值得关系。
由（2）可知函数在x=-1,x=-3,取得极值。
且f(-4)=0
f(-3)=4
f(-1)=0
f(0)=4
因此，当x∈【-4，0】时，f(x)的最小值=min{f(-4),f(-3),f(-1),f(0)}=0
由f(x)+c^2>0恒成立可得，0+C^2>0成立，解得C≠0.

Answer 2

希望有帮助！呵呵！