Question

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在X=1处取得极值-1。求b,c的值。若关于X的方程f(x)+t=0在区间[-1,1]上有实根。

Answer 1

1.f‘(x)=3x²+2bx+c，x=1时，3+2b+c=0，2b+c=-3
1+b+c+2=-1，b+c=-4
b=1，c=-5
2. f(x)=x³+x²-5x+2
f(x)=-t 在区间[-1,1]上有实根，-t的范围就是f（x）在区间[-1,1]上的值域
f‘(x)=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1），令f‘(x)=0，x=-5/3，1
根据导函数的正负关系可知x=-5/3是极大值，x=1是极小值
所以在区间[-1,1]上，f（x）在递减
f（x）max=f（-1）=7
f（x）min=f（1）=-1
所以t的范围是[-1,7]

Answer 2

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在X=1处取得极值-1。
得f'(x)=3x²+2bx+c在x=1是为0
3+2b+c=0
1+b+c+2=-1
得
b=1
c=-5
f(x)=x3+x2-5x+2
f(x)+t=0
x三次方+x²-5x+2+t=0【-1,1】上有实根
满足f(-1)与f(1)异号即可
f(-1)f(1)<0
(7+t)(t-1)<0
-7<t<1