Question

已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为32．点P（x0，y0）为椭圆M内一定点（不

已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为32．点P（x0，y0）为椭圆M内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且AB∥CD．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）证明：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：∵短轴长为2，离心率为

3

2

，
∴a=2，b=1，
∵焦点在x轴上，
∴椭圆M的标准方程

x2

4

+y2＝1；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），

AP

=λ

PC

，
∴x₃=

(1+λ)x0?x1

λ

，y₃=

(1+λ)y0?y1

λ

，
∵点C在椭圆上，∴

x32

4

+y32＝1，
又点A在椭圆上，∴

x12

4

+y12＝1，
从而可得（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₁+4y₀y₁）=λ²-1   ①
又∵AB∥CD，故有

BP

=λ

PD

．
同理可得（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₂+y₀y₂）=λ²-1②
②-①得
x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，
∵P点不在坐标轴上，∴x₀≠0，y₀≠0，
又易知不与坐标轴平行，∴直线AB的斜率k=

y1?y2

x1?x2

=-

x0

4y0

，为定值．