（2014?武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．（1）求证
（2014?武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．（1）求证：∠ABC=∠F；（2）若sinC=35，DF=6，求...
（2014?武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．（1）求证：∠ABC=∠F；（2）若sinC=35，DF=6，求⊙O的半径．
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解答：（1）证明：∵BF为⊙O的切线，
∴AB⊥BF于点B．
∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠AHD=90°．
∴CD∥BF．
∴∠ADC=∠F．
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠F．
（2）解：连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（1）∠ABF=90°，
∴∠A=∠DBF．
又∵∠A=∠C．
∴∠C=∠DBF．
在Rt△DBF中，sinC＝sin∠DBF＝
，DF=6，
∴BD=8．
在Rt△ABD中，sinC＝sinA＝
，
∴AB＝
．
∴⊙O的半径为
．
∴AB⊥BF于点B．
∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠AHD=90°．
∴CD∥BF．
∴∠ADC=∠F．
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠F．
（2）解：连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（1）∠ABF=90°，
∴∠A=∠DBF．
又∵∠A=∠C．
∴∠C=∠DBF．
在Rt△DBF中，sinC＝sin∠DBF＝
| 3 |
| 5 |
∴BD=8．
在Rt△ABD中，sinC＝sinA＝
| 3 |
| 5 |
∴AB＝
| 40 |
| 3 |
∴⊙O的半径为
| 20 |
| 3 |
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