Question

求ln(1+x)/(x*(1+x^2))在区间0,1的定积分

如图

Answer 1

令x=tana，x∈[0,1]，所以a∈[0°,45°]

∫ln(1+x)/(1+x^2)dx

=∫ln(1+tana)/(seca)^2dtana

=∫ln(1+tana)da

注意到ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))

=ln(1+tana+tan(π/4-a)+tanatan(π/4-a))

=ln(1+tanatan(π/4-a)+tan(a+π/4-a)(1-tanatan(π/4-a))

=ln2

又因为∫ln(1+tana)da=∫ln(1+tan(π/4-a))da (π/4-a代换a)

所以∫ln(1+tana)da=1/2(∫ln(1+tana)da+∫ln(1+tan(π/4-a))da)

=1/2∫(ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))da

=1/2∫ln2da

=ln2*a/2(a在0到π/4)

=ln2*π/8

扩展资料：

若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

令x=tana，x∈[0，1]，所以a∈[0°，45°]

∫ln(1+x)/(1+x^2)dx

=∫ln(1+tana)/(seca)^2dtana

=∫ln(1+tana)da

注意到ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))

=ln(1+tana+tan(π/4-a)+tanatan(π/4-a))

=ln(1+tanatan(π/4-a)+tan(a+π/4-a)(1-tanatan(π/4-a))

=ln2

又因为∫ln(1+tana)da=∫ln(1+tan(π/4-a))da (π/4-a代换a)

所以∫ln(1+tana)da=1/2(∫ln(1+tana)da+∫ln(1+tan(π/4-a))da)

=1/2∫(ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))da

=1/2∫ln2da

=ln2*a/2(a在0到π/4)

=ln2*π/8

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

附上Mathematica验算：

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