Question

如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接一

如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接一个R=4Ω的电阻．有一方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B=1T．将一根质量m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r=1Ω，导轨电阻不计．现由静止开始释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，经5s金属棒滑行至cd处时刚好达到稳定速度，cd 与NQ相距s=8m．重力加速度g取10m/s2．求：（1）金属棒达到的稳定速度是多大？（2）金属棒ab从静止释放到滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的焦耳热和通过电阻R的总电荷量各是多少？（3）若给电阻R两端加上u=Umsin40πt（V）的正弦交流电压，电阻R经14s产生的热量与第（2）问中电阻R产生的焦耳热相等．请写出此正弦交流电压的瞬时表达式．

Answer 1

（1）设金属棒达到稳定时的速度v_m，回路中的电流为I，切割磁感应线产生的电动势为E，
 E=BLv_m
由闭合电路殴姆定律得：I=

E

R+r

由受力平衡可得：BIL+μmgcosθ=mgsinθ
联立得：

B2L2vm

R+r

+μmgcosθ=mgsinθ
由以上各式可得：v_m=

mg(sinθ?μcosθ)?(R+r)

B2L2

=

0.05×10×(sin37°?0.5×cos37°)×(4+1)

12×0．52

=2m/s
（2）由能量转化及守恒可得：mgssinθ=Q+μmgcosθ?s+

1

2

mv_m²
可得：Q=mgssinθ-μmgcosθ?s-

1

2

mv_m²=0.05×10×8×sin37°-0.5×0.05×10×cos37°×8-

1

2

×0.05×2²=0.7J
则电阻R上产生的焦耳热 Q_R=

4

5

Q=0.56J
此过程中流过电阻R的电荷量 q=

.

I

t  
又

.

I

=

. E

R+r

，
可得 q═

△Φ

R+r

=

BLs

R+r

=

1×0.5×8

4+1

C=0.8C
（3）正弦交流电压u=U_msin40πt（V）的有效值 U=

2

2

Um
据题得：Q_R=

U2

R

t=

U 2 m

R

t
则得 U_m=

QRR t

=

0.56×4 14

V=0.4V
故正弦交流电压的瞬时表达式为 u=0.4sin40πt（V）．
答：
（1）金属棒达到的稳定速度是2m/s．
（2）金属棒ab从静止释放到滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的焦耳热和通过电阻R的总电荷量各是0.7J和0.8C．
（3）正弦交流电压的瞬时表达式为 u=0.4sin40πt（V）．