Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求三棱锥E-ABD的体积；（2）求证：B1D1⊥AE；（3

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求三棱锥E-ABD的体积；（2）求证：B1D1⊥AE；（3）求证：AC∥平面B1DE．

Answer 1

解答：（1）解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
∴CE=1
则：VE?ABD＝

1

3

S△ABD?CE=

2

3

（2）证明：在正方体中，CE⊥平面ABCD
∴CE⊥BD
在正方形ABCD中，AC⊥BD
∴BD⊥平面ACE
∵B₁D₁∥BD
∴B₁D₁⊥平面ACE
∴B₁D₁⊥AE
（3）证明：在侧棱AA₁上取中点F，连结DF，B₁F，EF
由于E、F分别是侧棱A₁A和C₁C的中点
所以：DF∥B₁E
∴D、F、B₁、E四点共面
∴AC∥EF
AC?平面B₁EDF  EF?平面B₁EDF
∴AC∥平面B₁EDF
平面B₁EDF和平面B₁DE重合∴
∴AC∥平面B₁DE．