已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）在图中，用尺规作
已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），...
已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．
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（1）解：作图如图．
证明：在△ABO与△ADO中，
∵
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=∠OEB，
在△BOE与△DOA中，
∵
，
∴△BOE≌△DOA（AAS），
∴BE=AD（平行且相等），
∴四边形ABED为平行四边形，另AB=AD，
∴四边形ABED为菱形；
（2）证明：设DE=2a，则CE=4a，过点D作DF⊥BC，
∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°，
∴∠EDF=30°，∴EF=
DE=a，
则DF=
a，CF=CE-EF=4a-a=3a，
∴CD＝
＝
＝2
证明：在△ABO与△ADO中，
∵
|
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OBE=∠ODA，∠OAD=∠OEB，
在△BOE与△DOA中，
∵
|
∴△BOE≌△DOA（AAS），
∴BE=AD（平行且相等），
∴四边形ABED为平行四边形，另AB=AD，
∴四边形ABED为菱形；
（2）证明：设DE=2a，则CE=4a，过点D作DF⊥BC，
∵∠ABC=60°，∴∠DEF=60°，
∴∠EDF=30°，∴EF=
| 1 |
| 2 |
则DF=
| 3 |
∴CD＝
| DF2+CF2 |
| 3a2+9a2 |
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