Question

已知：如图（1），△AOB和△COD都是等边三角形，连接AC、BD交于点P．（1）求证：AC=BD；（2）求∠APB的度

已知：如图（1），△AOB和△COD都是等边三角形，连接AC、BD交于点P．（1）求证：AC=BD；（2）求∠APB的度数；（3）如图（2），将（1）中的△AOB和△COD改为等腰三角形，并且OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD的等量关系为______，∠APB的大小为______．

Answer 1

（1）证明：∵△AOB和△COD都是等边三角形，
∴AO=OB，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC，
在△AOC和△BOD中，

AO＝OB ∠AOC＝∠BOD OC＝OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；

（2）解：∵△ABO是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠1=∠2，
∴∠APB=180°-（∠3+∠ABO+∠2）
=180°-（∠3+∠1+∠ABO）
=180°-（60°+60°）
=60°；

（3）解：AC=BD，∠APB=α，
理由是：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOC=∠BOD=∠BOC+α，
在△AOC和△BOD中

AO＝OB ∠AOC＝∠BOD OC＝OD

∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OCA=∠ODB，
∴∠APB=180°-（∠PDC+∠PCO+∠OCD）
=180°-（∠PDC+∠BDO+∠OCD）
=180°-（∠ODC+∠OCD）
=∠DOC
=α，
故答案为：AC=BD，∠APB=α．