Question

已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．（1）若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+

已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．（1）若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上总是减函数，对每个给定的n，求m的最大值h（n）．

Answer 1

（1）当n+3m²=0时，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
则f′(x)=2x+m-

3m2

x

=

2x2+mx-3m2

x

=

(2x+3m)(x-m)

x

．
令f′（x）=0，得x=-

3m

2

（舍），x=m．（3分）
①当m＞1时，

∴当x=m时，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m=e

2

3

．（5分）
②当0＜m≤1时，f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．综上所述，所求m为m=e

2

3

．（7分）
（2）∵对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，
f（x）在区间（a，b）上总是减函数，则对于x∈（1，3），
f′(x)=2x+m+

n

x

=

2x2+mx+n

x

＜0，
∴f′（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．（9分）
设g（x）=2x²+mx+n，∵x＞0，
∴g（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．
由g（x）二次项系数为正，得

g(1)≤0 g(3)≤0

即

m+n+2≤0 3m+n+18≤0

亦即

m≤-n-2 m≤- n 3 -6.

（12分）
∵（-n-2）-(-

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