Question

复变函数可微 和 解析的条件的问题。

f(z)=3x^2y−y^3 +x^2 +2y^2 +x+i(􏰀−x^3 +3xy^2 −4xy+2y^2 −2y)
这个函数在何处可微？
又在何处解析？
另求可微和解析的区别􏰁
感谢！！

Answer 1

可微和可导是完全等价的
判断复变函数是否可微通常的依据是“柯西-黎曼方程”
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点z0=x0+iy0可导，等价于u(x,y)和v(x,y)都在(x0,y0)处可微，且在这点处满足ux=vy和vx=-uy[注：ux,uy,vx,vy的下标表示u,v对其的偏导数]

而至于u(x,y),v(x,y)可微的定义是什么，这就是实函数的概念了，可以复习一下多元微积分的知识

如果函数f(z)在z0的某个邻域处处可导，就说f(z)在z0处解析
如果函数f(z)在(开)区域D内处处可导，就说f(z)在区域D内解析，或者称f(z)是D上的解析函数
一般不定义闭区域上的解析函数

区别就是：可导、可微可以只在一点或者一条曲线上成立，也可以在区域、闭区域上成立，但可微只能在区域(或者点的邻域)内成立。

Answer 2

复变函数在一点可微根据定义即在该点的差商极限存在，在一点解析指的是在该点的一个邻域内可微。
解析比可微强，正是因为有了解析的概念，复变函数才和多变量函数区别开来。

Answer 3

引用知导者的回答：
可微和可导是完全等价的
判断复变函数是否可微通常的依据是“柯西-黎曼方程”
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点z0=x0+iy0可导，等价于u(x,y)和v(x,y)都在(x0,y0)处可微，且在这点处满足ux=vy和vx=-uy[注：ux,uy,vx,vy的下标表示u,v对其的偏导数]

而至于u(x,y),v(x,y)可微的定义是什么，这就是实函数的概念了，可以复习一下多元微积分的知识

如果函数f(z)在z0的某个邻域处处可导，就说f(z)在z0处解析
如果函数f(z)在(开)区域D内处处可导，就说f(z)在区域D内解析，或者称f(z)是D上的解析函数
一般不定义闭区域上的解析函数

区别就是：可导、可微可以只在一点或者一条曲线上成立，也可以在区域、闭区域上成立，但可微只能在区域(或者点的邻域)内成立。

可微和可导完全是两个概念，复变函数可微和实变函数可微完全不一样，不要被误导了。