Question

幂级数和函数问题：图中求导后定义域与积分后定义域为什么可以不一样？为什么可以加上x=-1？以收敛域

幂级数和函数问题：图中求导后定义域与积分后定义域为什么可以不一样？为什么可以加上x=-1？以收敛域为准吗？

Answer 1

幂级数逐项求导后收敛半径不变，也就是收敛区间不变，但是在收敛区间的端点上的收敛性有可能变化，注意判断。
这里，求导后的收敛域是(-1,1)，但是原来的幂级数的收敛域是[-1,1)。
积分后，xs(x)=-ln(1-x)，-1＜x＜1。
注意到-ln(1-x)在x=-1处连续，所以当x=-1时，xs(x)=lim(x→-1+) [-ln(1-x)]=-ln2。
所以可以直接写xs(x)=-ln(1-x)，-1≤x＜1。

x的绝对值的范围就是-1到1，首先就确定一个范围了，其次要看题干里的分数在什么情况下会处于有意义的状态，我们都知道一个分数的分母是不能为零的，为零就没有意义了，而它的分母是1-x当x为1的时候 分母没有意义，但是-1的时候是有意义的，所以你可以通过画数轴的方式来更加清楚表达它的范围，1＞x≥-1x的绝对值的范围就是-1到1，首先就确定一个范围了，其次要看题干里的分数在什么情况下会处于有意义的状态，我们都知道一个分数的分母是不能为零的，为零就没有意义了，而它的分母是1-x当x为1的时候 分母没有意义，但是-1的时候是有意义的，所以你可以通过画数轴的方式来更加清楚表达它的范围，1＞x≥-1

Answer 2

幂级数逐项求导后收敛半径不变，也就是收敛区间不变，但是在收敛区间的端点上的收敛性有可能变化，注意判断。
这里，求导后的收敛域是(-1,1)，但是原来的幂级数的收敛域是[-1,1)。
积分后，xs(x)=-ln(1-x)，-1＜x＜1。
注意到-ln(1-x)在x=-1处连续，所以当x=-1时，xs(x)=lim(x→-1+) [-ln(1-x)]=-ln2。
所以可以直接写xs(x)=-ln(1-x)，-1≤x＜1。

Answer 3

x的绝对值的范围就是-1到1，首先就确定一个范围了，其次要看题干里的分数在什么情况下会处于有意义的状态，我们都知道一个分数的分母是不能为零的，为零就没有意义了，而它的分母是1-x当x为1的时候 分母没有意义，但是-1的时候是有意义的，所以你可以通过画数轴的方式来更加清楚表达它的范围，1＞x≥-1

Answer 4

x的绝对值的范围就是-1到1，首先就确定一个范围了，其次要看题干里的分数在什么情况下会处于有意义的状态，我们都知道一个分数的分母是不能为零的，为零就没有意义了，而它的分母是1-x当x为1的时候 分母没有意义，但是-1的时候是有意义的，所以你可以通过画数轴的方式来更加清楚表达它的范围，1＞x≥-1x的绝对值的范围就是-1到1，首先就确定一个范围了，其次要看题干里的分数在什么情况下会处于有意义的状态，我们都知道一个分数的分母是不能为零的，为零就没有意义了，而它的分母是1-x当x为1的时候 分母没有意义，但是-1的时候是有意义的，所以你可以通过画数轴的方式来更加清楚表达它的范围，1＞x≥-1

Answer 5

可能，或许他比较有脾气吧。