Question

设函数 f(x)=lg(x+√x²+1） x²+1都在根号下 (1)确定函数f(x)的定义域 (

设函数 f(x)=lg(x+√x²+1）
x²+1都在根号下
(1)确定函数f(x)的定义域
(2)判断函数f (x)的奇偶性
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；

Answer 1

因为对任意实数x,√(x²+1)>√x²=|x|≥-x,所以√(x²+1)>-x,即x+√(x²+1)>0,
于是f(x)的定义域为R.
f(x)的定义域为R,对任意实数x,
因为f(-x)=lg[-x+√(x²+1)]
=lg{[-x+√(x²+1)][x+√(x²+1)]/[x+√(x²+1)]}
=lg{1/[x+√(x²+1)]}
=lg[x+√(x²+1)]^(-1)
=-lg[x+√(x²+1)]
=-f(x)
所以f(x)是奇函数.
(3)证明：
f(x)的定义域为R,对任意实数x1,x2,且x1