Question

高中数学不等式证明

高中数学不等式证明a、b、c>0，证明:a/根号（a^2+8bc）+b/根号（b^2+8ac）+c/根号（c^2+8ab）>=1
（尽量用构造对偶式的方法来做）

Answer 1

这是一道IMO试题，我所知证法不少于10种.
以下用一个最简单的方法(凸函数法):

构造一个下凸多元函数
f(s,t,v)=s/√(s²+8tv)，
则依Jensen不等式的推广式得
f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)
≥3f[(a+b+c)/3,(b+c+a)/3,(c+a+b)/3]，
即a/√(a²+8bc)+b/√(b²+8ca)+c/√(c²+8ab)
≥3[(a+b+c)/3]/√[(a+b+c)²/9+8(a+b+c)²/9]
=1.
故a/√(a²+8bc)+b/(b²+8ca)+c/√(c²+8ab)≥1.
即原不等式得证。

追问

非常感谢～～～

能否再请教一题？a、b、c大于0，且abc=1，求1/（2a+1）+1/（2b+1）+1/（2c+1）的最小值

Answer 2

。。