Question

一道数学竞赛题，求解

Answer 1

画图，令等号左边等于y1,右边等于y2，如果x满足y1=y2，两个图像就有焦点，集合不空。那么我们就控制a使得两个图像没有交点就行。最终求得a<=-1/3

追问

答案不是这个，答案是a<=1/3或a大于六分之一

追答

我的错，画错图了，正确如下 图。

最后没显示出来的部分是a<-1/2。合并到一起就是a<-1/3或者a>1/6

追问

谢谢，答案我知道怎么来，但我不明白的是，Δ<0不就说明无交点了吗，为什么还需要画图解出一个负三分之一才能使答案正确呢，只用判别式的问题出在哪？而为什么判别式求出的六分之一却又是成立的？

追答

在我的图里，二次函数图像过了x轴往下走的地方，我打了个小“x”号，两边都平方构造出新的函数忽略了，根号(x-3)不能小于0,这个要求，在数学里叫做增根。Δ1/6，而一次函数图像和二次函数在x轴下边的是没有意义的。二次图像只到（3，0）处，在这里的斜率是-1/3.所以应该舍去-1/2，采用-1/3.

Answer 2

记y1=√(x-3) (图象开口向右的上半部抛物线)
y2=ax+1
联立
{y=√(x-3)
{y=ax+1
(x-3)=(ax+1)^2
a^2x^2+2ax+1=x-3
a^2x^2+(2a-1)x+4=0
令Δx=0
(2a-1)^2-16a^2=0
4a^2-4a+1-16a^2=0
12a^2+4a-1=0
(2a+1)(6a-1)=0
a1=-1/2(舍去),a2=1/6
所以，
a>1/6,或a<-1/3
注：
-1/3是（3，0）点与(0 , 1)点连线的斜率；

追问

谢谢，答案我知道怎么来，但我不明白的是，Δ<0不就说明无交点了吗，为什么还需要画图解出一个负三分之一才能使答案正确呢，只用判别式的问题出在哪？而为什么判别式求出的六分之一却又是成立的？

追答

我们在用Δ<0解题时，是针对整个开口向右的抛物线，但是题中的抛物线是一象限的抛物线，也就是上半个抛物线，Δ<0包括下半个抛物线，因此这时候还要考虑直线与下半个抛物线相交的情况；
注意：
y1=√(x-3)是半个抛物线，而用Δ<0，是反应直线与整个抛物线的位置关系；