Question

从自然数中任意取出6个数，其中至少有2个数的差是5的倍数。为什么？

Answer 1

自然数被5除余数分五种:
余0（也就是被整除）、余1、余2、余3、余4
取6个数，则必有两个自然数被5除的余数相同，而这两个数的差被5除则余0，即是5的倍数

Answer 2

关于“任意6个自然数中，必有两个数的差是5的倍数”命题的证明 证明：
令这6个任意自然数中最小的为Amin，其他5个数分别为：A1 、A2、A3、A4 、A5 ，则这5个数与最小数Amin的差为：
C1 ＝A1－Amin＝5×K1 ＋Y1 （Y1 <5，即Y1∈{0、1、2、3、4}） C2 ＝A2－Amin＝5×K2 ＋Y2 （Y2 <5，即Y2∈{0、1、2、3、4}） C3 ＝A3－Amin＝5×K3 ＋Y3 （Y3 <5，即Y3∈{0、1、2、3、4}） C4 ＝A4－Amin＝5×K4 ＋Y4 （Y4 <5，即Y4∈{0、1、2、3、4}） C5 ＝A5－Amin＝5×K5 ＋Y5 （Y5 <5，即Y5∈{0、1、2、3、4}）
其中：K为对应的差C除以5的整数商，Y为对应的差C除以5之后的余数。 1）如果Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5 这5个余数中有一个Yi为0，则说
明差Ci是5的倍数，命题成立；
2）如果Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5 这5个余数均不为0，从中不难看
出， Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5 这5个余数都是只有4个元素的集
合{1、2、3、4}中的元素，从而至少必有两个余数是相同的。 即：存在Yi＝Yj∈{Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5}, 其对应的自然数为Ai、Aj，
则有：Ai＝5×Ki ＋Yi，Aj＝5×Kj ＋Yj
那么：Ai－Aj＝（5×Ki ＋Yi）－(5×Kj ＋Yj)＝5×(Ki－Kj）＋(Yi－Yj)
其中，5×(Ki－Kj）是5的倍数，Yi＝Yj ，Yi－Yj＝0，
从而：Ai－Aj＝5×(Ki－Kj）＋(Yi－Yj) ＝5×(Ki－Kj）是5的倍数。 证毕。

Answer 3

抽屉原理
证明∵任意自然数除以5余数只有0、1、2、3、4这5种情况个，
不妨分别构造为5个抽屉：
[0]，[1]，[2]，[3]，[4]
当有6个不同的自然数，将这6个不同自然数分别除以5，肯定至少有2个数的余数是一样的，余数是一样的也就是说余数相减为0，

所以，任意写出6个不同的自然数,至少有一组两个数的差是5的倍数。

Answer 4

对于这道题不适合从正面证明，需要采用反证法。

假如这六个数任意两个的差都不为5的倍数。

那么，设第一个数为a
则

第二个数：只可以为a+5n1+1,a+5n2+2,a+5n3+3,a+5n4+4(其中，n1,n2,n3,n4为非负整数)
（之所以有这些形式，是前提假设要求，第二个数与第一个数的差不为5的倍数）
不妨把第二个数取为a+5n1+1

第三个数：同理可以为a+5n2+2,a+5n3+3,a+5n4+4，注意少了一种可能性，即如果第三个数取为a+5n+1,则第三个数和第二个数的差为5(n-n1)，为5的倍数，与前提假设矛盾。
在下面的三种可能性中，
不妨把第三个数取为a+5n2+2

同理，
把第四个数取为a+5n3+3
把第五个数取为a+5n4+4

那么第六个数无论取那种形式，都与前面的某一个数的差为5的倍数，即与假设矛盾。

所以，假设不成立。
原命题成立。

Answer 5

自然数被5除余数分五种:
余0（也就是被整除）、余1、余2、余3、余4
取6个数，则必有两个自然数被5除的余数相同，而这两个数的差被5除则余0，即是5的倍数。