Question

1+4+9+……+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)这是怎么算出来的，求解答

Answer 1

利用立方差公式
n²-(n-1)³=1*[n²+(n-1)²+n(n-1)]
=n²+(n-1)²+n²-n
=2*n²+(n-1)²-n
2³-1³=2*2²+1²-2
3³-2³=2*3²+2²-3
4³-3³=2*4²+3²-4
.
n³-(n-1)³=2*n²+(n-1)²-n
各等式左右相加
n³-1³=2*(2²+3²+...+n²)+[1²+2²+...+(n-1)²]-(2+3+4+...+n)
n³-1=2*(1²+2²+3²+...+n²)-2+[1²+2²+...+(n-1)²+n²]-n²-(2+3+4+...+n)
n³-1=3*(1²+2²+3²+...+n²)-2-n²-(1+2+3+...+n)+1
n³-1=3*(1²+2²+3²+...+n²)-1-n²-n(n+1)/2
3*(1²+2²+3²+...+n²)=n³+n²+n(n+1)/2=(n/2)(2n²+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

数学归纳法
当n=1时 等式右边=1*2*3/6=1,成立
假设在n=k时
1^2+2^2……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立
则n=k+1时
等式左边=1^2+2^2+……+k^2+(k+1)^2
=[k(k+1)(2k+1)/6]+(k+1)^2
=(k+1)[2k^2+k+6(k+1)]/6
=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而n=k+1时等式右边=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
既左边=右边
故该式在n=k+1时也成立
所以该式在n为任何正整数时成立

Answer 3

用立方差公式n³-(n-1)³=……，可以推导出来！！！

Answer 4

此题可以先观察找出初步规律，然后用数学归纳法证明。