Question

设A为 矩阵，则A的列向量组必然线性相关

Answer 1

若m≤n，则当A的行向量组线性相关时，它的列向量组必然也是线性相关的。

证明：A的行向量组线性相关→r（A）＜m，又m≤n→r（A）＜n→A的列向量组线性相关所谓当A为n阶方阵时，即m=n时，当A的行向量组线性相关时，它的列向量组必然也是线性相关的。

设a为m×n矩阵，b 为n×s矩阵，

则由ab=o知：r（a）+r（b）≤n，

又a，b为非零矩阵，则：

必有rank（a）＞0，rank（b）＞0，

可见：rank（a）＜n，rank（b）＜n，

即a的列向量组线性相关，b的行向量组线性相关。

定理

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

以上内容参考：百度百科-相似矩阵

Answer 2

① 若m＞n,则A的行向量组线性相关,但A的列向量组未必线性相关,条件取决于A的秩是否小于n,若r(A)＜n,则A的列向量组线性相关,若r(A)=n,则A的列向量组线性无关,请看下面的例子： 1 2 1 2 1 2 这是一个3×2矩阵A,r(A)=1＜2,它的行向量组线性相关,列向量组也线性相关,再看： 1 2 1 2 1 3 这是一个3×2矩阵A,r(A)=2,它的行向量组线性相关,列向量组线性无关! ② 若m≤n,则当A的行向量组线性相关时,它的列向量组必然也是线性相关的. 证明：A的行向量组线性相关 → r(A)＜m,又m≤n → r(A)＜n → A的列向量组线性相关所谓当A为n阶方阵时,即m=n时,适用②的结论：当A的行向量组线性相关时,它的列向量组必然也是线性相关的!