求1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+…+1/(1+2+3+…+100)=
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这里用到的裂项相消法
因为1+2+3+..+n=n(n+1)/2
所以[1/（1+2+3+…+n)]=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
所以sn=1+[1/(1+2)]+〔1/(1+2+3)〕+[1/(1+2+3+4)]+……+[1/(1+2+3+……+n)]
=2[1/1-1/2]+2[1/2-1/3]+2[1/3-1/4]+...+2[1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)
因为1+2+3+..+n=n(n+1)/2
所以[1/（1+2+3+…+n)]=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
所以sn=1+[1/(1+2)]+〔1/(1+2+3)〕+[1/(1+2+3+4)]+……+[1/(1+2+3+……+n)]
=2[1/1-1/2]+2[1/2-1/3]+2[1/3-1/4]+...+2[1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)
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