Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），bn...

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），bn=an•2n-1，则{bn}的前n项和Tn=_____．

Answer 1

解：∵nan+1=Sn+n（n+1），（n-1）an=Sn-1+n（n-1），
∴nan+1-（n-1）an=an+2n，
∴an+1-an=2（n≥2），
a1=2，a2=S1+2，
∴a2-a1=2，
∴{an}等差数列，
∴an=2n
∴bn=an•2n-1=2n•2n-1=n•2n，
∴Tn=2+2•22+…+n•2n，
∴2Tn=2•22+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
两式相减可得Tn=2+（n-1）•2n+1．
故答案为：Tn=2+（n-1）•2n+1．