求解复变函数的泰勒级数 50
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没什么技巧，其实就是合并同类项而已
前一个级数z^n的系数为i^n/n!，
后一个级数z^n的系数为(-i)^n/n!，
∴相减后z^n的系数为(i^n-(-i)^n)/n!
=(1-(-1)^n)i^n/n!
由此可见当n为偶数时，上式=0
当n为奇数时，上式=2i^n/n!
∴相减后的级数没有偶次项
即只有奇次项，考虑到前面有个系数1/2i
所以每个奇次项z^(2k+1)，k=0,1,2,3....的系数为
i^(2k)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)!
写成求和的形式，把指标k换成n就是红线部分的式子
前一个级数z^n的系数为i^n/n!，
后一个级数z^n的系数为(-i)^n/n!，
∴相减后z^n的系数为(i^n-(-i)^n)/n!
=(1-(-1)^n)i^n/n!
由此可见当n为偶数时，上式=0
当n为奇数时，上式=2i^n/n!
∴相减后的级数没有偶次项
即只有奇次项，考虑到前面有个系数1/2i
所以每个奇次项z^(2k+1)，k=0,1,2,3....的系数为
i^(2k)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)!
写成求和的形式，把指标k换成n就是红线部分的式子
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2024-10-13 广告
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