Question

求两个连续的自然数,每个数的数字之和都是13的倍数,问这两个数最小是几

Answer 1

一个老题目，没有看到正确回答，便作答一下。

假设两个连续自然数为 m 和 m+1，且 m 各位数字之和为 a，则：

m+1 的各位数字之和肯定不是 a+1，因为 a 和 a+1 是连续自然数，它们是互质的，不可能同时为 13 的倍数。

因此，m+1 必然有进位发生；也就是说，m 的个位数字必须是9。

m+1 的过程，个位数字由9变成0，前面各位数字之和增加1，即 m+1 的各位数字之和是 a-9+1=a-8；若 a 是 13 的倍数，a-8 必不是13的倍数，因此，一定是连续进位才可以满足 m+1 各位数字之和同样是 13 的倍数。

所以，假定 m 的十位数字也是 9，m+1 的各位数字之和为 a-8-9=a-17，仍不能满足题意；

假定 m 的百位上也是 9，m+1 的各位数字之和为 a-17-9=a-26，为 13 的倍数。

综上分析，m+1 为 xx000 形式的五位数，而前两位 xx 最小为 49；

即：m+1 = 49000，m = 48999。

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编程搜索的结果与上述分析结论一致。

附：fortran代码和计算结果

Answer 2

37
设这个自然数是x,x+13是5的m倍,x-13是6的n倍(m.n均为正整数),根据题意,得
(x+13=5m)-(x-13=6n),得
5m-6n=26
即
5m=26+6n,m=5+n+(n+1)/5.
n的最小值为4,此时,x=6*4+13=37