Question

概率高手进！！

某厂生产的灯泡使用寿命X~N(2500,250^2)，现进行质量检查，方法如下：若这些灯泡的平均寿命超过2450小时，就认为合格。若要使检查能通过的概率为99%，至少要检查多少个灯泡？

Answer 1

1、
解：其实，由于只有一个随机变量X，概率分布函数和概率密度函数无需用下标X写出。
(1)、由易知，
P(X<2)=F(2)=ln
2，
P(0<X<=3)=F(3)-F(0)=1.
（2）、概率分布函数F(x)对x求导即为概率密度函数：
f(x)=F'(x)=
{
0,
x<1,
{
1/x,
1<x<e,
{
0,
x>e,
由于题目设计不好，在x=1,x=e两处的概率密度不存在，f(x)不连续。
2、
解：
题目条件不完整，可能是录入时漏掉了P(C)的值，假设P(C)=a,
因为P(AB)=P(BC)=0，所以P(ABC)=0，
则P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3a-1/8。
3、如果理解没错，题意可能是这样：
据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律：
P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病|孩子得病}=0.5，
P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：
设A={孩子得病}，B={母亲得病}，C={父亲得病}，用Cx表示事件{父亲不得病}，则
P(A)=0.6，
P(B|A)=0.5，
P(C|AB)=0.4。
欲求P(AB*Cx)。
因为P(B|A)=P(AB)/P(A)，
所以P(AB)=P(B|A)*P(A)=0.3，
P(C|AB)=0.4，则
P(Cx|AB)=1-P(C|AB)=1-0.4=0.6，
P(Cx|AB)=P(Cx*AB)/P(AB)，故P(Cx*AB)=P(Cx|AB)*P(AB)=0.6*0.3=0.18。
4、如果没有理解错，题目是不是这个意思：
设二维随机向量（X，Y）的联合密度函数为
{
C，0<x<
1,
x^2<y<x，
P（x，y）={
{
0，其他。
试求：
（1）
常数C；
（2）
边际
密度函数Px（x），PY（y），并讨论X和Y的独立性；
（3）
P（2Y<X）。
解：
(1)
由概率总和为1得：
∫（∫P(x,y)dy）dx=1，y的积分范围是[x^2,
x]，x的积分范围是[0,1]。
则1=∫C*(x-x^2)
dx
(
x
from
0
to
1)；
即C/6=1，所以，C=6.
（2）
P_X(x)=∫P(x,y)dy
（y的积分范围是[x^2,
x]）
=6(x-x^2);
{
C，0<y<
1,
y<x<√y，
P（x，y）={
{
0，其他。
P_Y(y)=∫P(x,y)dx
（x的积分范围是[y,
√y]）
=6(√y-y)。
因为在概率密度不为0的区域上，
P_X(x)*P_Y(y)=36(x-x^2)(√y-y)≠P(x,
y)，
故X、Y不独立。
(3)
在概率密度不为0的区域内，2Y<X的区域为S1:
0<x<1/2,
x^2<y<x/2,
P（2Y<X）=∫∫P(x,y)dydx，积分区域为S1，
=∫（∫P(x,y)dy）dx
（y的积分范围是[x^2,
x/2]，x的积分范围是[0,1/2]）。
=∫6*(x/2-x^2)dx
（x的积分范围是[0,1/2]）
=1/8。
5、
解：设提前时间为y时的花费为f(y,X)，求出f(y,X)期望F(y)，并求出F(y)取最小值时y的值。
为简化计算，只需讨论10<=y<=30的情况。
到达时间X服从[10,30]上的均匀分布，在此区间上的概率密度函数为f0(x)=1/20.
{
c(y-X),
X<y,
f(y,X)=
{
{
k(X-y),
X>=y.
F(y)=E(f(y,X))=∫f(y,x)*f0(x)dx
（积分区间[10,30]）
=∫f(y,x)*f0(x)dx
（[10,y]积分）+∫f(y,x)*f0(x)dx
（[y,30]积分）
=∫c(y-x)*1/20
dx
（[10,y]积分）+∫k(X-y)*1/20
dx
（[y,30]积分）
=c*y^2/40+5c/2-cy/2+
45k/2+k*y^2/40-3ky/2
=(c+k)/40*y^2-(c+3*k)/2*y+5/2*(c+9k)，
现在转化为对一个关于y的二次函数F(y)在区间[10,30]上求最小值的问题。
根据题意，c、k>0，
记A=(c+k)/40，
B=(c+3*k)/2，C=5/2*(c+9k)，
则F(y)=A
y^2-B
y+C=A*(y-B/2A)^2+C-B^2/4A，
因为B/2A=10*(c+3*k)/(c+k)
(c+3*k)/(c+k)<(3c+3*k)/(c+k)=3，
(c+3*k)/(c+k)>(c+k)/(c+k)=1，
所以10<B/2A<30，
故当y=B/2A=10(c+3k)/(c+k)时，F(y)取最小值，此时，平均花费最小。
（显然，若c=k时，当y=20时话费最小）
6、
解：概率密度不为0的区域为S0：|x|+|y|<=a/√2，可以分成两块
S1：-a/√2<x<=0，-x-a/√2
<y<x+a/√2；
S2：0<x<a/√2，-x+a/√2<y<x-a/√2；
或者分为：
S3：-a/√2<y<=0，-y-a/√2<x<y+a/√2；
S4：0<y<a/√2，y-a/√2<x<-y+a/√2；
(X,
Y)的联合概率密度函数为：
{
1/a^2,
(x,y)在区域S0中，
f(x,y)=
{
{
0，
其它。
X的边缘概率密度为：
f1(x)=∫f(y,x)dy
当-a/√2<x<=0时
f1(x)=∫1/a^2
dy
，积分区间-x-a/√2
<y<x+a/√2；
=(2x+√2*a)/a^2；
当0<x<a/√2时，
f1(x)=∫1/a^2
dy
，积分区间-x+a/√2<y<x-a/√2；
=(2x-√2*a)/a^2；
故：
{
(2x+√2*a)/a^2,
当-a/√2<x<=0时,
f1(x)=
{
(2x-√2*a)/a^2，当0<x<a/√2时,
{
0,
其它。
同理，Y的边缘概率密度函数为：
{
(2y+√2*a)/a^2,
当-a/√2<y<=0时,
f2(y)=
{
(2y-√2*a)/a^2，当0<y<a/√2时,
{
0,
其它。
(2)
条件概率密度函数
f_(X|Y)
(x|y)=f(x,
y)/f2(y)
{
1/(2y+√2*a),
当(x,y)在区域S3中时,
=
{
1/(2y-√2*a)，当(x,y)在区域S4中时,
{
0,
其它。

Answer 2

n=138

Answer 3

p=1-p1(（2450-2500）/250)=1-p1(-0.2)
pk=p^n>=0.99
则n= （p1要查表）