Question

已知数列{An}，Sn是其前n项和，且满足3An=2Sn+n，n为正整数，求证数列{An+1/2}为等比数列

1、已知数列{An}，Sn是其前n项和，且满足3An=2Sn+n，n为正整数
（1）、求证数列{An+1/2}为等比数列；
（2）、记Tn=S1+S2+S3+......+Sn，求Tn的表达式。

2、已知数列{An}满足A1=1。A2=2，A（n+2）=An+A（n+1）/2，n为正整数
（1）、令Bn=A（n+1）-An，证明：{Bn}是等比数列。
（2）、求{An}的通项式。
求第二题的答案~

Answer 1

1.
证：
Sn=(3an-n)/2
Sn-1=[3a(n-1)-(n-1)]/2
an=Sn-Sn-1=[3an-3a(n-1)-1]/2
an=3a(n-1)+1
an+1/2=3a(n-1)+3/2=3[a(n-1)+1/2]

(an+1/2)/[a(n-1)+1/2]=3，为定值，因此
{An+1/2}为等比数列。

令n=1
3a1=2a1+1
a1=1
a1+1/2=3/2

Tn=S1+S2+...+Sn
=(1/2)(2S1+2S2+...+2Sn)
=(1/2)(3a1-1+3a2-2+...+3an-n)
=[-n(n+1)/4]+(3/2)(a1+a2+...+an)
=[-n(n+1)/4]+(3/2)[a1+1/2+a2+1/2+...+an+1/2-n/2]
=[-n(n+1)/4]-3n/4+(3/2)(3/2)(3^n-1)/2
=[9(3^n-1)-2n(n+4)]/8

Answer 2

1.证明；先令n=1，则3A1=2A1+1 得A1=1
令n=n+1得3A(n+1)=2S(n+1)+(n+1)②
∵3An=2Sn+n①
由②－①得：3（A(n+1)-An)=2An+1
移项得3（A(n+1)+1/2)=5(An+1/2)
即（A（n+1)+1/2）÷（An+1/2)=5/3
∴{An+1/2}是首项为3/2，公比为5/3的等比数列
（2）Sn=A1+1/2+A2+1/2+......An+1/2-n/2
=3/2[1-(5/3)^n]/(-2/3)-n/2
=9/4×(5/3)^n-9/4-/n/2
∴Tn=45/8(5/3)^n-45/8+n(n+1)/4-9n/4
先做一题吧，累死，这么多符号

Answer 3

1、（1）证明：3A(n+1)-3An=2[S(n+1)-Sn]+1=2A（n+1）+1，
化简得：A(n+1)+1/2=3(An+1/2).
∴数列{An+1/2}为等比的数列，比值为3。

（2）2Tn=∑2Sn=∑(3An- n)
=3∑An-∑n=3Sn-n(n+1)/2
=3(3An-n)/2-n(n+1)/2
=3[3(3^n/2-3/2)-n]-n(n+1)/2
...（自己化简一下，我懒得写了）

2、（1）A（n+2）=[An+A（n+1）]/2可得出
2[A（n+2)-A（n+1）]=-[A（n+1)-An]
所以Bn=A（n+1）-An是公比为-1/2的等比数列

通项公式太简单自己算了

2、