Question

怎么证明级数：1/n-ln（1+1/n）收敛啊？

不久就要交了，帮忙一下！

Answer 1

对n<x<n+1，有1/(n+1)<1/x<1/n，所以

∫[n,n+1] 1/(n+1) dx<∫[n,n+1] 1/x dx<∫[n,n+1] 1/n dx，

其中第一项和第三项都是常数的积分，所以第一项=[(n+1)-n]*1/(n+1)=1/(n+1)，第三项=[(n+1)-n]*1/n=1/n；

对第二项用Newton-Leibniz公式得ln(x)|{x=n+1}-ln(x)|{x=n}=ln(n+1)-ln(n)，

即得1/(n+1)<ln(n+1)-ln(n)<1/n

所以收敛。

扩展资料：

对于所有级数都适用的根本方法是：柯西收敛准则。因为它的本质是将级数转化成数列，从而这是一个最强的判别法，柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件。

对于正项级数，一个基本但不常用的方法是部分和有界，这同样是级数收敛的充分必要条件，这是正项级数中最强的判别法之一。

对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛；如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。

参考资料：百度百科——级数收敛

Answer 2

用基本不等式
1/(n+1)<ln(n+1)-ln(n)=ln((n+1)/n)=ln(1+1/n)<1/n
（证明见http://zhidao.baidu.com/question/149157572.html，我以前做的）。
所以
0<1/n-ln(1+1/n)<1/n-1/(n+1)=1/(n(n+1))<1/n^2，
再由比较判别法即得

Answer 3

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