Question

四边形abcd中 ab=cb ∠abc=60° ∠adc=120度

四边形ABCD中,AB=CB,∠ABC=60°，若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论。
∠adc≠120度

Answer 1

猜想：PA＋PD＋PC≥BD

这题不是一下子就能证明出来的，要分两步走，先来证明下面一题：

如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABD＝60°，∠BCD＝120°，求证：BC＋CD＝AC

证明：延长BC至E，使CE＝CD，连结DE，则△CDE是等边三角形

故DE＝CE＝CE，∠CDE＝60°

又△ABD是等边三角形，可证△ACD≌△BED

∴AC＝BE＝BC＋CE＝BC＋CD

下面用该结论来证明本题：

证明：如图2，在四边形ABCD外侧以AD为边作正三角形ADE，连结AC、EC、EP

易证△ABD≌△ACE，得BD＝CE

由上面的结论可知PE＝PA＋PD，而PC＋PE≥CE，故PA＋PD＋PC≥BD

Answer 2

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